Appendix to 'Residual life assessment for bridges' lecture

INTRODUCTION

In this appendix:

Tables 1 and 2 give the values of ρ' and ρ'' as describe by the UIC calculation of the dynamic coefficient (section 2.3 of the lecture).
Table 3 gives the definitions of characteristic lengths for fatigue calculations.
Table 4 gives maximum bending moments produced in a simply supported girder by the UIC 71 loading.
Table 5 describes historical types of trains for fatigue analysis and Table 6 the value of λTj for fatigue trains-past (k = 5).

Finally, an example with which to apply the calculation procedure is given. 

Table 1 Values of the Coefficient ρ' [2]

v [km/h]

l [m]

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

140

160

180

2

0,0177

0,0360

0,0549

0,0746

0,0951

0,1163

0,1383

0,1612

0,1851

0,2099

0,2357

0,2625

0,3196

0,3815

0,4483

5

0,0177

0,0360

0,0549

0,0746

0,0951

0,1163

0,1383

0,1612

0,1851

0,2099

0,2357

0,2625

0,3196

0,3815

0,4483

7

0,0177

0,0360

0,0549

0,0746

0,0951

0,1163

0,1383

0,1612

0,1851

0,2099

0,2357

0,2625

0,3196

0,3815

0,4483

10

0,0177

0,0360

0,0549

0,0746

0,0951

0,1163

0,1383

0,1612

0,1851

0,2099

0,2357

0,2625

0,3196

0,3815

0,4483

15

0,0177

0,0360

0,0549

0,0746

0,0951

0,1163

0,1383

0,1612

0,1851

0,2099

0,2357

0,2625

0,3196

0,3815

0,4483

20

0,0177

0,0360

0,0549

0,0746

0,0951

0,1163

0,1383

0,1612

0,1851

0,2099

0,2357

0,2625

0,3196

0,3815

0,4483

30

0,0149

0,0303

0,0462

0,0625

0,0794

0,0968

0,1148

0,1334

0,1526

0,1725

0,1930

0,2142

0,2589

0,3067

0,3579

40

0,0133

0,0269

0,0409

0,0552

0,0700

0,0852

0,1008

0,1169

0,1335

0,1505

0,1681

0,1862

0,2240

0,2642

0,3069

50

0,0121

0,0245

0,0372

0,0502

0,0635

0,0772

0,0913

0,1057

0,1205

0,1357

0,1513

0,1673

0,2007

0,2360

0,2733

70

0,0105

0,0213

0,0323

0,0435

0,0549

0,0667

0,0786

0,0909

0,1034

0,1163

0,1294

0,1428

0,1706

0,1998

0,2304

100

0,0091

0,0183

0,0278

0,0374

0,0472

0,0571

0,0673

0,0776

0,0882

0,0990

0,1100

0,1212

0,1442

0,1683

0,1933

120

0,0084

0,0170

0,0257

0,0346

0,0436

0,0528

0,0622

0,0717

0,0814

0,0912

0,1013

0,1115

0,1325

0,1544

0,1771

 

Table 2 Values of the Coefficient ρ'' [2]

v [km/h]

l [m]

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

140

160

180

2

0,0673

0,1345

0,2018

0,2690

0,3363

0,4055

0,4708

0,5380

0,5380

0,5380

0,5380

0,5380

0,5380

0,5380

0,5380

5

0,0545

0,1090

0,1635

0,2181

0,2726

0,3271

0,3816

0,4361

0,4361

0,4361

0,4361

0,4361

0,4361

0,4361

0,4361

7

0,0429

0,0858

0,1287

0,1715

0,2144

0,2573

0,3002

0,3431

0,3431

0,3431

0,3431

0,3431

0,3431

0,3431

0,3431

10

0,0258

0,0515

0,773

0,1030

0,1288

0,1545

0,1603

0,2060

0,2060

0,2060

0,2060

0,2060

0,2060

0,2060

0,2060

15

0,0074

0,0148

0,0221

0,0295

0,0369

0,0443

0,0516

0,0590

0,0590

0,0590

0,0590

0,0590

0,0590

0,0590

0,0590

20

0,0013

0,0026

0,0038

0,0051

0,0064

0,0077

0,0090

0,0103

0,0103

0,0103

0,0103

0,0103

0,0103

0,0103

0,0103

30

0,0012

0,0024

0,0036

0,0048

0,0060

0,0072

0,0084

0,0095

0,0095

0,0095

0,0095

0,0095

0,0095

0,0095

0,0095

40

0,0004

0,0007

0,0011

0,0015

0,0019

0,0022

0,0026

0,0030

0,0030

0,0030

0,0030

0,0030

0,0030

0,0030

0,0030

50

0,0001

0,0001

0,0002

0,0002

0,0003

0,0003

0,0004

0,0004

0,0004

0,0004

0,0004

0,0004

0,0004

0,0004

0,0004

70

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

100

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

120

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

 

Table 3           Definitions of characteristic lengths for fatigue calculations

Case

Structural Element

Characteristic Length LΦ

DECK PLATE (Steel) closed deck with ballast bed (orthotropic deck plate)       (for local stresses)

1

 

 

 

Deck with longitudinal and cross ribs

 

1.1   Deck plate (for both directions)

3 x cross girder spacing

1.2  Longitudinal ribs (including small cantilevers up to 0.50m)(*)

3 x cross girder spacing

1.3  Cross girders, end cross girders

2 x length of cross girders

2

 

 

Deck plate with cross girders only

 

2.1   Deck plate (for both directions)

2 x cross girder spacing + 3 m

2.2  Cross girders, end cross girders

2 x length of cross girders

DECK PLATE (Steel) open deck without ballast bed (for local stresses)

3

 

 

3.1  Rail bearers

 - as an element of a grillage

 - simply supported

3 x cross girder spacing

cross girder spacing + 3 m

3.2  Cantilever of rail bearer

the characteristic length leads to Φ3 = 2.0

3.3  Cross girders, end cross girders

2 x length of cross girders

DECK PLATE WITH BALLAST BED (structural concrete)

(for local and transverse stresses)

4

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1   Deck plates as part of box girders or upper flange of main beam

 

  -   spanning transversely to the main girders

3 x span of deck plate

  -   spanning in the longitudinal direction

3 x span of deck plate or characteristic length of main girder; whichever is the lesser

  -   transverse cantilevers supporting railway loading

see footnote (**)

4.2  Deck plate continuous over cross girders (in main-girder direction)

2 x span of deck plate in the longitudinal direction

4.3  Deck plate for trough bridges:

 

  -    spanning perpendicular to the main girders

span of deck plate

  -    spanning in the longitudinal direction

2 x span of deck plate or characteristic length of main girders - whichever is the lesser

4.4  Deck slabs spanning transversely between steel beams embedded in concrete

2 x characteristic length in the longitudinal direction

MAIN GIRDER ELEMENTS

5

 

 

5.1   Simply supported girders and slabs (including steel girders embedded in concrete)

Span in main girder direction

5.2   Girders and slabs continuous over n spans with:

LΦ = k . Lm, at least max. Li (i=1,....,n)

                Lm = 1/n(L1+L2+..+Ln)

 

* In general all cantilevers greater than 0.50 m and supporting railway loads need a special study.

(**) These cantilevers need a special study.

 

Table 4           Maximum bending moments produced in a simply supported girder by the UIC 71 loading

L (m)

Mmax (kN.m)

L (m)

Mmax (kN.m)

L (m)

Mmax (kN.m)

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4

3,6

3,8

4,0

4,2

4,4

4,6

4,8

5,0

62,5

75,0

87,5

100,0

112,7

125,8

139,3

153,2

167,5

182,2

197,3

212,8

241,2

275,0

312,5

350,0

387,5

425,0

462,5

500,0

537,7

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

22

24

26

28

30

32

732,2

974,2

1251

1543

1855

2187

2539

2911

3303

3715

4147

4599

5071

5563

6075

7159

8323

9567

10890

12300

13780

34

36

38

40

42

44

46

48

50

52

54

56

58

60

65

70

75

80

85

90

100

15340

16990

18710

20520

22400

24360

26410

28530

30740

33020

35380

37830

40350

42960

49820

57180

65040

73400

82260

91620

111800

 

Table 5           Historical types of trains for fatigue analysis [1]

 

Type 2.1 (1876-1890)        ∑ P = 126,5 t      L = 64.04 m

 

 

Type 2.2 (1876-1890)      ∑ P = 249 t        L = 77.18 m

 

 

Type 3.1 (1891-1905)       ∑ P = 166 t        L = 76.15 m

 

 

Type 3.2 (1891-1905)      ∑ P = 325 t        L = 76.98 m

 

 

Type 4.1 (1906-1920)      ∑ P = 205.1 t      L = 95.02 m

 

 

Type 6.1 (1936-1950)      ∑ P = 294 t        L = 98.78 m

 

 
Type 6.2 (1936-1950)     ∑ P = 478 t        L = 171.14 m

 

Type 6.3 (1936-1950)     ∑ P = 732 t        L = 271.9 m

 

 

Type 7.1 (1951-1965)      ∑ P = 52 t        L = 46.5 m

 

 

Type 7.2 (1951-1965)      ∑ P = 346 t      L = 151.1 m

 

 

Type 7.3 (1951-1965)     ∑ P = 406 t       L = 177.5 m

 

 

Table 6 ΛTj - for fatigue trains-past (k = 5) [2]

Period

 

Train j

 

Span l [m]

2

3

5

7

10

15

20

25

50

100

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

2

0,637

0,709

0,595

0,653

0,423

0,523

0,411

0,515

0,364

0,445

0,577

0,577

0,370

0,412

0,298

0,335

0,277

0,358

0,116

0,197

3

1

2

0,721

0,884

0,612

0,823

0,466

0,529

0,464

0,515

0,404

0,445

0,635

0,577

0,453

0,412

0,335

0,335

0,325

0,374

0,134

0,224

4

1

2

3

0,753

0,938

0,891

0,685

0,798

0,810

0,477

0,580

0,484

0,463

0,577

0,465

0,445

0,549

0,446

0,692

0,756

0,635

0,494

0,535

0,453

0,410

0,447

0,373

0,358

0,423

0,390

0,155

0,189

0,218

5

1

2

3

1,116

1,117

1,104

0,891

0,911

1,019

0,657

0,666

0,748

0,668

0,609

0,748

0,647

0,589

0,744

0,981

0,813

1,043

0,700

0,618

0,701

0,596

0,522

0,560

0,569

0,537

0,537

0,247

0,229

0,245

6

1

2

3

1,090

1,148

1,071

0,869

0,888

1,010

0,672

0,699

0,814

0,671

0,692

0,832

0,687

0,699

0,813

0,981

0,983

1,156

0,741

0,741

0,782

0,596

0,596

0,634

0,569

0,569

0,602

0,229

0,239

0,253

7

1

2

3

4

0,427

1,134

1,148

1,385

0,411

0,810

0,843

1,264

0,252

0,658

0,660

0,883

0,185

0,673

0,674

0,782

0,125

0,689

0,691

0,777

0,174

1,040

1,043

1,100

0,124

0,782

0,783

0,743

0,112

0,634

0,634

0,634

0,114

0,602

0,602

0,667

0,053

0,232

0,237

0,310

8

1

2

3

4

0,427

1,068

1,193

1,413

0,411

1,016

0,981

1,355

0,252

0,515

0,670

0,805

0,185

0,447

0,643

0,633

0,125

0,416

0,582

0,499

0,174

0,592

0,722

0,676

0,124

0,415

0,541

0,468

0,112

0,373

0,450

0,379

0,114

0,325

0,439

0,409

0,053

0,134

0,184

0,211

 

Table 6 (continued)  ΛTj - for fatigue trains-past (k = 3,75) [2]

Period

 

Train j

 

Span l [m]

2

3

5

7

10

15

20

25

50

100

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

2

0,713

0,846

0,648

0,731

0,435

0,541

0,414

0,520

0,365

0,445

0,577

0,577

0,371

0,412

0,298

0,336

0,277

0,358

0,116

0,197

3

1

2

0,813

1,089

0,678

1,004

0,471

0,565

0,468

0,522

0,405

0,449

0,635

0,578

0,453

0,412

0,336

0,336

0,325

0,374

0,134

0,224

4

1

2

3

0,880

1,158

1,109

0,791

0,962

1,000

0,511

0,625

0,526

0,467

0,608

0,475

0,445

0,591

0,450

0,693

0,777

0,637

0,494

0,538

0,454

0,410

0,448

0,373

0,358

0,423

0,391

0,155

0,189

0,218

5

1

2

3

1,318

1,396

1,420

1,034

1,089

1,287

0,679

0,760

0,845

0,674

0,685

0,811

0,648

0,635

0,782

0,981

0,835

1,064

0,700

0,620

0,705

0,595

0,522

0,563

0,569

0,537

0,537

0,247

0,229

0,245

6

1

2

3

1,289

1,423

1,371

0,999

1,049

1,275

0,719

0,706

0,886

0,686

0,751

0,870

0,688

0,731

0,830

0,981

0,997

1,166

0,741

0,742

0,786

0,596

0,597

0,635

0,569

0,569

0,602

0,229

0,239

0,253

7

1

2

3

4

0,480

1,336

1,374

1,804

0,464

0,914

0,980

1,611

0,283

0,686

0,692

1,065

0,205

0,694

0,699

0,876

0,130

0,697

0,707

0,807

0,177

1,048

1,062

1,117

0,126

0,785

0,789

0,750

0,114

0,635

0,635

0,638

0,114

0,602

0,602

0,669

0,053

0,232

0,237

0,310

8

1

2

3

4

0,480

1,221

1,445

1,814

0,464

1,151

1,183

1,716

0,283

0,577

0,760

1,013

0,205

0,495

0,694

0,740

0,130

0,442

0,621

0,560

0,177

0,622

0,779

0,728

0,126

0,426

0,562

0,493

0,114

0,377

0,460

0,394

0,114

0,325

0,439

0,416

0,053

0,134

0,184

0,211

 

EXAMPLE OF CALCULATION PROCEDURE

Railway bridge, L = 5 m, built in 1902, consisting of two riveted plate girders each with a section modulus, w, of 2890 cm3

From Section 2.4, the dynamic amplification factor is given by:

From Table 4, maximum bending moment = 537,7 kN.m

σuic = (1,53 × 537,7 × 106) / (2 × 2890 × 103)  = 14,23 kN/cm2

ΔσR = 100 N/mm2       ΛR = 1,65 × 100/142,3  = 1,16

Δσuic = 142,3 N/mm2

The calculation of the total damage S is shown in Table 7.

Sp = {365 /(2.106 × 1,165)}  x 747 = 649 . 10-4

Υt = 1,40 x 1,15 = 1,61

1,615 x 649 ´ 10-4 = 0,70 ≤ 1

=> Safety (first case)

 

Table 7           Calculation of total damage in Example of calculation procedure

Period

Tn

(years)

Train

(type)

Speed

km/h

Trains/

day

ΛTj

Tj)k

∑NjNTj)k

1 - φ

[(1+φj)/φuci]k

 

(1)

1902 - 1908

7

3.1

3.2

60

40

20

20

0,466

0,529

0,021

0,041

0,42

0,82

1,513

1,337

0,97

0,52

2,85

2,98

(2)

1009 - 1923

15

4.1

4.2

4.3

60

80

40

20

15

20

0,477

0,580

0,484

0,024

0,065

0,026

0,493

0,984

0,531

1,513

1,69

1,337

0,97

1,69

0,52

7,17

24,94

4,14

(3)

1924 - 1938

15

4.3

5.1

5.2

5.3

40

80

100

40

20

20

15

15

0,484

0,657

0,667

0,748

0,026

0,122

0,131

0,234

0,531

2,44

1,96

3,51

1,337

1,69

1,9

1,337

0,52

1,69

3,05

0,52

4,14

61,95

89,37

27,37

(4)

1939 - 1953

15

5.3

6.1

6.2

6.3

40

80

100

40

20

15

15

15

0,748

0,672

0,699

0,814

0,234

0,137

0,166

0,357

468

2,05

2,49

5,35

1,337

1,69

1,9

1,337

0,52

1,69

3,05

0,52

36,50

51,96

113,9

41,73

(5)

1954 - 1968

15

7.1

7.2

7.3

7.4

8.2

8.4

80

80

100

40

80

40

15

10

10

20

15

15

0,252

0,658

0,66

0,883

0,515

0,805

0,001

0,123

0,125

0,536

0,036

0,338

0,015

1,23

1,25

10,7

0,54

5,07

1,69

1,69

1,9

1,337

1,69

1,337

1,69

1,69

3,05

0,52

1,69

0,52

0,38

31,18

57,18

5,56

0,38

15,75

(6)

1969 - 1983

15

8.1

8.2

8.3

8.4

80

80

100

60

20

25

25

20

0,252

0,515

0,67

0,805

0,001

0,036

0,135

0,338

0,02

0,9

3,37

6,76

1,59

1,59

1,64

1,44

1,25

1,25

1,46

0,76

5,62

16,87

63,15

76,95

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = 747